Производная tan(1/cos(t))

Вы ввели

   /  1   \
tan|------|
   \cos(t)/

$$\tan{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \frac{1}{\cos{\left (t \right )}}$.

   2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \frac{1}{\cos{\left (t \right )}}$:

      1. Заменим $u = \cos{\left (t \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )} = - \sin{\left (t \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\sin{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )} \cos^{2}{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\sin{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )} \cos^{2}{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )} \cos^{2}{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )}}$

Первая производная

/       2/  1   \\       
|1 + tan |------||*sin(t)
\        \cos(t)//       
-------------------------
            2            
         cos (t)         

$$\frac{\sin{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

                   /                     2       /  1   \\
                   |         2      2*sin (t)*tan|------||
/       2/  1   \\ |    2*sin (t)                \cos(t)/|
|1 + tan |------||*|1 + --------- + ---------------------|
\        \cos(t)// |        2                 3          |
                   \     cos (t)           cos (t)       /
----------------------------------------------------------
                          cos(t)                          

$$\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )} + 1\right) \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )}} + \frac{2 \sin^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{3}{\left (t \right )}} \tan{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                   /         /  1   \                    2    /       2/  1   \\        2       2/  1   \         2       /  1   \\       
                   |    6*tan|------|        2      2*sin (t)*|1 + tan |------||   4*sin (t)*tan |------|   12*sin (t)*tan|------||       
/       2/  1   \\ |         \cos(t)/   6*sin (t)             \        \cos(t)//                 \cos(t)/                 \cos(t)/|       
|1 + tan |------||*|5 + ------------- + --------- + ---------------------------- + ---------------------- + ----------------------|*sin(t)
\        \cos(t)// |        cos(t)          2                    4                           4                        3           |       
                   \                     cos (t)              cos (t)                     cos (t)                  cos (t)        /       
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                    2                                                                     
                                                                 cos (t)                                                                  

$$\frac{\sin{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )} + 1\right) \left(\frac{2 \sin^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{4}{\left (t \right )}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )} + 1\right) + \frac{6 \sin^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )}} + \frac{12 \sin^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{3}{\left (t \right )}} \tan{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )} + \frac{4 \sin^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{4}{\left (t \right )}} \tan^{2}{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )} + 5 + \frac{6 \tan{\left (\frac{1}{\cos{\left (t \right )}} \right )}}{\cos{\left (t \right )}}\right)$$