Производная tan((1+x)/x)

Вы ввели

   /1 + x\
tan|-----|
   \  x  /

$$\tan{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x} \left(x + 1\right)$.

   2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = x + 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Теперь применим правило производной деления:

         $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left (1 + \frac{1}{x} \right )}}$

Первая производная

/       2/1 + x\\ /1   1 + x\
|1 + tan |-----||*|- - -----|
\        \  x  // |x      2 |
                  \      x  /

$$\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)\right) \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

  /       2/1 + x\\ /    1 + x\ /     /    1 + x\    /1 + x\\
2*|1 + tan |-----||*|1 - -----|*|-1 + |1 - -----|*tan|-----||
  \        \  x  // \      x  / \     \      x  /    \  x  //
-------------------------------------------------------------
                               2                             
                              x                              

$$\frac{2}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(\left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \tan{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                                /               2                                                             2            \
  /       2/1 + x\\ /    1 + x\ |    /    1 + x\  /       2/1 + x\\     /    1 + x\    /1 + x\     /    1 + x\     2/1 + x\|
2*|1 + tan |-----||*|1 - -----|*|3 + |1 - -----| *|1 + tan |-----|| - 6*|1 - -----|*tan|-----| + 2*|1 - -----| *tan |-----||
  \        \  x  // \      x  / \    \      x  /  \        \  x  //     \      x  /    \  x  /     \      x  /      \  x  //
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                              3                                                             
                                                             x                                                              

$$\frac{2}{x^{3}} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + 1\right) \left(\left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + 1\right) + 2 \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)^{2} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} - 6 \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \tan{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + 3\right)$$