Производная tan(7/x)

Вы ввели

   /7\
tan|-|
   \x/

$$\tan{\left(\frac{7}{x} \right)}$$

d /   /7\\
--|tan|-||
dx\   \x//

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{7}{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(\frac{7}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{7}{x} \right)}}{\cos{\left(\frac{7}{x} \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{7}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{7}{x} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{7}{x}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{7}{x}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{7}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{7 \cos{\left(\frac{7}{x} \right)}}{x^{2}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{7}{x}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{7}{x}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{7}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{7 \sin{\left(\frac{7}{x} \right)}}{x^{2}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \frac{7 \sin^{2}{\left(\frac{7}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{7 \cos^{2}{\left(\frac{7}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{7}{x} \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $- \frac{7}{x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{7}{x} \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{7}{x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{7}{x} \right)}}$

Первая производная

   /       2/7\\
-7*|1 + tan |-||
   \        \x//
----------------
        2       
       x        

$$- \frac{7 \left(\tan^{2}{\left(\frac{7}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}}$$

Вторая производная

                 /         /7\\
                 |    7*tan|-||
   /       2/7\\ |         \x/|
14*|1 + tan |-||*|1 + --------|
   \        \x// \       x    /
-------------------------------
                3              
               x               

$$\frac{14 \cdot \left(1 + \frac{7 \tan{\left(\frac{7}{x} \right)}}{x}\right) \left(\tan^{2}{\left(\frac{7}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}}$$

Третья производная

                  /          /7\      /       2/7\\         2/7\\
                  |    42*tan|-|   49*|1 + tan |-||   98*tan |-||
    /       2/7\\ |          \x/      \        \x//          \x/|
-14*|1 + tan |-||*|3 + --------- + ---------------- + ----------|
    \        \x// |        x               2               2    |
                  \                       x               x     /
-----------------------------------------------------------------
                                 4                               
                                x                                

$$- \frac{14 \left(\tan^{2}{\left(\frac{7}{x} \right)} + 1\right) \left(3 + \frac{42 \tan{\left(\frac{7}{x} \right)}}{x} + \frac{49 \left(\tan^{2}{\left(\frac{7}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{98 \tan^{2}{\left(\frac{7}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

График