Производная tan(3/x)

Вы ввели

   /3\
tan|-|
   \x/

$$\tan{\left (\frac{3}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \frac{3}{x}$.

   2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{3}{x}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{3}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{3}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{3}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{3}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )}}$

Первая производная

   /       2/3\\
-3*|1 + tan |-||
   \        \x//
----------------
        2       
       x        

$$- \frac{1}{x^{2}} \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} + 3\right)$$

Вторая производная

                /         /3\\
                |    3*tan|-||
  /       2/3\\ |         \x/|
6*|1 + tan |-||*|1 + --------|
  \        \x// \       x    /
------------------------------
               3              
              x               

$$\frac{6}{x^{3}} \left(1 + \frac{3}{x} \tan{\left (\frac{3}{x} \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                  /      /       2/3\\        /3\        2/3\\
                  |    3*|1 + tan |-||   6*tan|-|   6*tan |-||
    /       2/3\\ |      \        \x//        \x/         \x/|
-18*|1 + tan |-||*|1 + --------------- + -------- + ---------|
    \        \x// |            2            x            2   |
                  \           x                         x    /
--------------------------------------------------------------
                               4                              
                              x                               

$$- \frac{18}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} + 1\right) \left(1 + \frac{6}{x} \tan{\left (\frac{3}{x} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )} + 3\right) + \frac{6}{x^{2}} \tan^{2}{\left (\frac{3}{x} \right )}\right)$$