Производная tan(x/4)

Вы ввели

   /x\
tan|-|
   \4/

$$\tan{\left (\frac{x}{4} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \frac{x}{4}$.

   2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{4}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{4}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{4 \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{4 \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{4 \cos^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )}}$

Первая производная

       2/x\
    tan |-|
1       \4/
- + -------
4      4   

$$\frac{1}{4} \tan^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} + \frac{1}{4}$$

Вторая производная

/       2/x\\    /x\
|1 + tan |-||*tan|-|
\        \4//    \4/
--------------------
         8          

$$\frac{1}{8} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x}{4} \right )}$$

Третья производная

/       2/x\\ /         2/x\\
|1 + tan |-||*|1 + 3*tan |-||
\        \4// \          \4//
-----------------------------
              32             

$$\frac{1}{32} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{4} \right )} + 1\right)$$