Производная tan(x/2)

Вы ввели

   /x\
tan|-|
   \2/

$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

d /   /x\\
--|tan|-||
dx\   \2//

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos{\left(x \right)} + 1}$

Первая производная

       2/x\
    tan |-|
1       \2/
- + -------
2      2   

$$\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$

Вторая производная

/       2/x\\    /x\
|1 + tan |-||*tan|-|
\        \2//    \2/
--------------------
         2          

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$$

Третья производная

/       2/x\\ /         2/x\\
|1 + tan |-||*|1 + 3*tan |-||
\        \2// \          \2//
-----------------------------
              4              

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)}{4}$$

График