Производная tan(x)/(2*x)

Вы ввели

tan(x)
------
 2*x  

$$\frac{\tan{\left (x \right )}}{2 x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 2 x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $2$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{4 x^{2}} \left(\frac{2 x}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - 2 \tan{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}}{2 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}}{2 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

 1  /       2   \   tan(x)
---*\1 + tan (x)/ - ------
2*x                     2 
                     2*x  

$$\frac{1}{2 x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{\tan{\left (x \right )}}{2 x^{2}}$$

Вторая производная

                                       2   
tan(x)   /       2   \          1 + tan (x)
------ + \1 + tan (x)/*tan(x) - -----------
   2                                 x     
  x                                        
-------------------------------------------
                     x                     

$$\frac{1}{x} \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{1}{x^{2}} \tan{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

             2                                          /       2   \     /       2   \       
/       2   \    3*tan(x)        2    /       2   \   3*\1 + tan (x)/   3*\1 + tan (x)/*tan(x)
\1 + tan (x)/  - -------- + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/ + --------------- - ----------------------
                     3                                        2                   x           
                    x                                        x                                
----------------------------------------------------------------------------------------------
                                              x                                               

$$\frac{1}{x} \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} - \frac{3}{x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3\right) - \frac{3}{x^{3}} \tan{\left (x \right )}\right)$$

График