Производная tan(x)/cot(x)

Вы ввели

tan(x)
------
cot(x)

$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)}}$$

d /tan(x)\
--|------|
dx\cot(x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cot{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}}{\cot^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

       2      /       2   \       
1 + tan (x)   \1 + cot (x)/*tan(x)
----------- + --------------------
   cot(x)              2          
                    cot (x)       

$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot{\left(x \right)}} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

  /                       /       2   \ /       2   \                 /            2   \       \
  |/       2   \          \1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/   /       2   \ |     1 + cot (x)|       |
2*|\1 + tan (x)/*tan(x) + --------------------------- + \1 + cot (x)/*|-1 + -----------|*tan(x)|
  |                                  cot(x)                           |          2     |       |
  \                                                                   \       cot (x)  /       /
------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             cot(x)                                             

$$\frac{2 \left(\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}\right)}{\cot{\left(x \right)}}$$

Третья производная

  /                                                                                                                             /            2   \                                       \
  |                                                                                                 /       2   \ /       2   \ |     1 + cot (x)|                                       |
  |/                               2                  3\                                          3*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|                                       |
  ||                  /       2   \      /       2   \ |          /       2   \ /         2   \                                 |          2     |     /       2   \ /       2   \       |
  ||         2      5*\1 + cot (x)/    3*\1 + cot (x)/ |          \1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/                                 \       cot (x)  /   3*\1 + cot (x)/*\1 + tan (x)/*tan(x)|
2*||2 + 2*cot (x) - ---------------- + ----------------|*tan(x) + ----------------------------- + ------------------------------------------------ + ------------------------------------|
  ||                       2                  4        |                      cot(x)                                   cot(x)                                         2                  |
  \\                    cot (x)            cot (x)     /                                                                                                           cot (x)               /

$$2 \cdot \left(\frac{3 \left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cot^{2}{\left(x \right)}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\cot{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + \left(\frac{3 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}}{\cot^{4}{\left(x \right)}} - \frac{5 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{\cot^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}\right)$$

График