Производная tan(x)/(1-x)

Вы ввели

tan(x)
------
1 - x 

$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{1 - x}$$

d /tan(x)\
--|------|
dx\1 - x /

$$\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)}}{1 - x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 1 - x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $1 - x$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{\left(1 - x\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}}{\left(1 - x\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + 1}{\left(x - 1\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{- x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + 1}{\left(x - 1\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

       2              
1 + tan (x)    tan(x) 
----------- + --------
   1 - x             2
              (1 - x) 

$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{1 - x} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{\left(1 - x\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /       2                                      \
  |1 + tan (x)     tan(x)    /       2   \       |
2*|----------- - --------- - \1 + tan (x)/*tan(x)|
  |   -1 + x             2                       |
  \              (-1 + x)                        /
--------------------------------------------------
                      -1 + x                      

$$\frac{2 \left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x - 1} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1}$$

Третья производная

  /                                    /       2   \                 /       2   \       \
  |  /       2   \ /         2   \   3*\1 + tan (x)/    3*tan(x)   3*\1 + tan (x)/*tan(x)|
2*|- \1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ - --------------- + --------- + ----------------------|
  |                                             2              3           -1 + x        |
  \                                     (-1 + x)       (-1 + x)                          /
------------------------------------------------------------------------------------------
                                          -1 + x                                          

$$\frac{2 \left(- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{x - 1} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{3 \tan{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)}{x - 1}$$

График