Производная tan(x)/(1+x)

Вы ввели

tan(x)
------
1 + x 

$$\frac{\tan{\left (x \right )}}{x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + 1\right) \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - \tan{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + 1}{\left(x + 1\right)^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )} + 1}{\left(x + 1\right)^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

       2              
1 + tan (x)    tan(x) 
----------- - --------
   1 + x             2
              (1 + x) 

$$\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{x + 1} - \frac{\tan{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /                                         2   \
  | tan(x)    /       2   \          1 + tan (x)|
2*|-------- + \1 + tan (x)/*tan(x) - -----------|
  |       2                             1 + x   |
  \(1 + x)                                      /
-------------------------------------------------
                      1 + x                      

$$\frac{1}{x + 1} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x + 1} \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2\right) + \frac{2 \tan{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

  /             2                                          /       2   \     /       2   \       \
  |/       2   \    3*tan(x)        2    /       2   \   3*\1 + tan (x)/   3*\1 + tan (x)/*tan(x)|
2*|\1 + tan (x)/  - -------- + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/ + --------------- - ----------------------|
  |                        3                                        2              1 + x         |
  \                 (1 + x)                                  (1 + x)                             /
--------------------------------------------------------------------------------------------------
                                              1 + x                                               

$$\frac{1}{x + 1} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} - \frac{6 \tan{\left (x \right )}}{x + 1} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(6 \tan^{2}{\left (x \right )} + 6\right) - \frac{6 \tan{\left (x \right )}}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)$$