Производная tan(x/3)

Вы ввели

   /x\
tan|-|
   \3/

$$\tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$$

d /   /x\\
--|tan|-||
dx\   \3//

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(\frac{x}{3} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{1}{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}$

Первая производная

       2/x\
    tan |-|
1       \3/
- + -------
3      3   

$$\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + \frac{1}{3}$$

Вторая производная

  /       2/x\\    /x\
2*|1 + tan |-||*tan|-|
  \        \3//    \3/
----------------------
          9           

$$\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{3} \right)}}{9}$$

Третья производная

  /       2/x\\ /         2/x\\
2*|1 + tan |-||*|1 + 3*tan |-||
  \        \3// \          \3//
-------------------------------
               27              

$$\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)} + 1\right)}{27}$$

График