Производная tan(x/3+10)

Вы ввели

   /x     \
tan|- + 10|
   \3     /

$$\tan{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}$$

d /   /x     \\
--|tan|- + 10||
dx\   \3     //

$$\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}$$

Подробное решение

1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

   $\tan{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}}$

2. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{3} + 10$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{3} + 10\right)$:

      1. дифференцируем $\frac{x}{3} + 10$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

         2. Производная постоянной $10$ равна нулю.

         В результате: $\frac{1}{3}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}}{3}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{3} + 10$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{3} + 10\right)$:

      1. дифференцируем $\frac{x}{3} + 10$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

         2. Производная постоянной $10$ равна нулю.

         В результате: $\frac{1}{3}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}}{3}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}}{3} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}}{3}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}}$

3. Теперь упростим:

   $\frac{1}{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3 \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}}$

Первая производная

       2/x     \
    tan |- + 10|
1       \3     /
- + ------------
3        3      

$$\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}}{3} + \frac{1}{3}$$

Вторая производная

  /       2/     x\\    /     x\
2*|1 + tan |10 + -||*tan|10 + -|
  \        \     3//    \     3/
--------------------------------
               9                

$$\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)}}{9}$$

Третья производная

  /       2/     x\\ /         2/     x\\
2*|1 + tan |10 + -||*|1 + 3*tan |10 + -||
  \        \     3// \          \     3//
-----------------------------------------
                    27                   

$$\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(\frac{x}{3} + 10 \right)} + 1\right)}{27}$$

График