Производная tan(x)/(3*x)

Вы ввели

tan(x)
------
 3*x  

$$\frac{\tan{\left (x \right )}}{3 x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 3 x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $3$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{9 x^{2}} \left(\frac{3 x}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - 3 \tan{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}}{3 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}}{3 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

 1  /       2   \   tan(x)
---*\1 + tan (x)/ - ------
3*x                     2 
                     3*x  

$$\frac{1}{3 x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{\tan{\left (x \right )}}{3 x^{2}}$$

Вторая производная

  /                                       2   \
  |tan(x)   /       2   \          1 + tan (x)|
2*|------ + \1 + tan (x)/*tan(x) - -----------|
  |   2                                 x     |
  \  x                                        /
-----------------------------------------------
                      3*x                      

$$\frac{1}{3 x} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2\right) + \frac{2}{x^{2}} \tan{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  /             2                                                                        \
  |/       2   \           2                    2    /       2   \   /       2   \       |
  |\1 + tan (x)/    1 + tan (x)   tan(x)   2*tan (x)*\1 + tan (x)/   \1 + tan (x)/*tan(x)|
2*|-------------- + ----------- - ------ + ----------------------- - --------------------|
  |      3                2          3                3                       x          |
  \                      x          x                                                    /
------------------------------------------------------------------------------------------
                                            x                                             

$$\frac{1}{x} \left(\frac{2}{3} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + \frac{4}{3} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2\right) - \frac{2}{x^{3}} \tan{\left (x \right )}\right)$$