Производная tan(x/3)^(2)

Вы ввели

   2/x\
tan |-|
    \3/

$$\tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{3}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{3 \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}} \left(\frac{1}{3} \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + \frac{1}{3} \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}}{3 \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}}{3 \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}}$

Первая производная

/         2/x\\       
|    2*tan |-||       
|2         \3/|    /x\
|- + ---------|*tan|-|
\3       3    /    \3/

$$\left(\frac{2}{3} \tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + \frac{2}{3}\right) \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Вторая производная

  /       2/x\\ /         2/x\\
2*|1 + tan |-||*|1 + 3*tan |-||
  \        \3// \          \3//
-------------------------------
               9               

$$\frac{2}{9} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

  /       2/x\\ /         2/x\\    /x\
8*|1 + tan |-||*|2 + 3*tan |-||*tan|-|
  \        \3// \          \3//    \3/
--------------------------------------
                  27                  

$$\frac{8}{27} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} + 2\right) \tan{\left (\frac{x}{3} \right )}$$