Производная tan(x)/x

Вы ввели

tan(x)
------
  x   

$$\frac{1}{x} \tan{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(\frac{x}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) - \tan{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}}{x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x - \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}}{x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

       2            
1 + tan (x)   tan(x)
----------- - ------
     x           2  
                x   

$$\frac{1}{x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{1}{x^{2}} \tan{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /                                       2   \
  |tan(x)   /       2   \          1 + tan (x)|
2*|------ + \1 + tan (x)/*tan(x) - -----------|
  |   2                                 x     |
  \  x                                        /
-----------------------------------------------
                       x                       

$$\frac{1}{x} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2\right) + \frac{2}{x^{2}} \tan{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  /             2                                          /       2   \     /       2   \       \
  |/       2   \    3*tan(x)        2    /       2   \   3*\1 + tan (x)/   3*\1 + tan (x)/*tan(x)|
2*|\1 + tan (x)/  - -------- + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/ + --------------- - ----------------------|
  |                     3                                        2                   x           |
  \                    x                                        x                                /
--------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                x                                                 

$$\frac{1}{x} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} - \frac{6}{x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(6 \tan^{2}{\left (x \right )} + 6\right) - \frac{6}{x^{3}} \tan{\left (x \right )}\right)$$