Производная tan(x)/x^3

Вы ввели

tan(x)
------
   3  
  x   

$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{3}}$$

d /tan(x)\
--|------|
dx|   3  |
  \  x   /

$$\frac{d}{d x} \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{3}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = x^{3}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\frac{x^{3} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 3 x^{2} \tan{\left(x \right)}}{x^{6}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x^{4} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{x - \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}}{x^{4} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

       2              
1 + tan (x)   3*tan(x)
----------- - --------
      3           4   
     x           x    

$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{x^{3}} - \frac{3 \tan{\left(x \right)}}{x^{4}}$$

Вторая производная

  /                         /       2   \           \
  |/       2   \          3*\1 + tan (x)/   6*tan(x)|
2*|\1 + tan (x)/*tan(x) - --------------- + --------|
  |                              x              2   |
  \                                            x    /
-----------------------------------------------------
                           3                         
                          x                          

$$\frac{2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x} + \frac{6 \tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{3}}$$

Третья производная

  /                                               /       2   \     /       2   \       \
  |/       2   \ /         2   \   30*tan(x)   18*\1 + tan (x)/   9*\1 + tan (x)/*tan(x)|
2*|\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/ - --------- + ---------------- - ----------------------|
  |                                     3              2                    x           |
  \                                    x              x                                 /
-----------------------------------------------------------------------------------------
                                             3                                           
                                            x                                            

$$\frac{2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{9 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)}}{x} + \frac{18 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}} - \frac{30 \tan{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)}{x^{3}}$$

График