Производная tan(x)*(x-4)

Вы ввели

tan(x)*(x - 4)

$$\left(x - 4\right) \tan{\left(x \right)}$$

d                 
--(tan(x)*(x - 4))
dx                

$$\frac{d}{d x} \left(x - 4\right) \tan{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   $g{\left(x \right)} = x - 4$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x - 4$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная постоянной $\left(-1\right) 4$ равна нулю.

      В результате: $1$

   В результате: $\frac{\left(x - 4\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - 4}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - 4}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

/       2   \                 
\1 + tan (x)/*(x - 4) + tan(x)

$$\left(x - 4\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}$$

Вторая производная

  /       2      /       2   \                \
2*\1 + tan (x) + \1 + tan (x)/*(-4 + x)*tan(x)/

$$2 \left(\left(x - 4\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$

Третья производная

  /       2   \ /           /         2   \         \
2*\1 + tan (x)/*\3*tan(x) + \1 + 3*tan (x)/*(-4 + x)/

$$2 \left(\left(x - 4\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 3 \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)$$

График