Производная tan(x^2/5)

Вы ввели

   / 2\
   |x |
tan|--|
   \5 /

$$\tan{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \frac{x^{2}}{5}$.

   2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2}}{5}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $\frac{2 x}{5}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 x}{5 \cos^{2}{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x}{5 \cos^{2}{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x}{5 \cos^{2}{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )}}$

Первая производная

    /        / 2\\
    |       2|x ||
2*x*|1 + tan |--||
    \        \5 //
------------------
        5         

$$\frac{2 x}{5} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

  /          / 2\        /        / 2\\    / 2\\
  |         2|x |      2 |       2|x ||    |x ||
2*|5 + 5*tan |--| + 4*x *|1 + tan |--||*tan|--||
  \          \5 /        \        \5 //    \5 //
------------------------------------------------
                       25                       

$$\frac{1}{25} \left(8 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )} + 10 \tan^{2}{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )} + 10\right)$$

Третья производная

    /        / 2\\ /      / 2\        /        / 2\\            / 2\\
    |       2|x || |      |x |      2 |       2|x ||      2    2|x ||
8*x*|1 + tan |--||*|15*tan|--| + 2*x *|1 + tan |--|| + 4*x *tan |--||
    \        \5 // \      \5 /        \        \5 //            \5 //
---------------------------------------------------------------------
                                 125                                 

$$\frac{8 x}{125} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )} + 1\right) \left(2 x^{2} \left(\tan^{2}{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )} + 1\right) + 4 x^{2} \tan^{2}{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )} + 15 \tan{\left (\frac{x^{2}}{5} \right )}\right)$$