Производная tan(x)^(2)/sec(x)

Вы ввели

   2   
tan (x)
-------
 sec(x)

$$\frac{\tan^{2}{\left (x \right )}}{\sec{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \tan^{2}{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \sec{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 \tan{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

         $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sec^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \sec{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \tan{\left (x \right )} - \frac{\sin{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\left(1 + \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right) \sin{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\left(1 + \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right) \sin{\left (x \right )}$

Первая производная

     3      /         2   \       
  tan (x)   \2 + 2*tan (x)/*tan(x)
- ------- + ----------------------
   sec(x)           sec(x)        

$$\frac{\tan{\left (x \right )}}{\sec{\left (x \right )}} \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2\right) - \frac{\tan^{3}{\left (x \right )}}{\sec{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                         2                        
   4        /       2   \       2    /       2   \
tan (x) + 2*\1 + tan (x)/  - tan (x)*\1 + tan (x)/
--------------------------------------------------
                      sec(x)                      

$$\frac{1}{\sec{\left (x \right )}} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} - \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + \tan^{4}{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

/                           2                          \       
|     4        /       2   \         2    /       2   \|       
\- tan (x) + 4*\1 + tan (x)/  + 3*tan (x)*\1 + tan (x)//*tan(x)
---------------------------------------------------------------
                             sec(x)                            

$$\frac{\tan{\left (x \right )}}{\sec{\left (x \right )}} \left(4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} - \tan^{4}{\left (x \right )}\right)$$