Производная tan(x^-2)^(3)

Вы ввели

   3/1 \
tan |--|
    | 2|
    \x /

$$\tan^{3}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{1}{x^{2}}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$:

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x^{2}}$ получим $- \frac{2}{x^{3}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2}{x^{3} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3 \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}} \left(- \frac{2}{x^{3}} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} - \frac{2}{x^{3}} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{6 \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}{x^{3} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{6 \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}{x^{3} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}$

Первая производная

      2/1 \ /       2/1 \\
-6*tan |--|*|1 + tan |--||
       | 2| |        | 2||
       \x / \        \x //
--------------------------
             3            
            x             

$$- \frac{6}{x^{3}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$$

Вторая производная

                 /                 2/1 \     /       2/1 \\\        
                 |            4*tan |--|   4*|1 + tan |--|||        
                 |                  | 2|     |        | 2|||        
  /       2/1 \\ |     /1 \         \x /     \        \x //|    /1 \
6*|1 + tan |--||*|3*tan|--| + ---------- + ----------------|*tan|--|
  |        | 2|| |     | 2|        2               2       |    | 2|
  \        \x // \     \x /       x               x        /    \x /
--------------------------------------------------------------------
                                  4                                 
                                 x                                  

$$\frac{6}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right) \left(3 \tan{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(4 \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 4\right) + \frac{4}{x^{2}} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}\right) \tan{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$$

Третья производная

                   /                             2                                                                                  \
                   |               /       2/1 \\         4/1 \        3/1 \     /       2/1 \\    /1 \         2/1 \ /       2/1 \\|
                   |             2*|1 + tan |--||    4*tan |--|   9*tan |--|   9*|1 + tan |--||*tan|--|   14*tan |--|*|1 + tan |--|||
                   |               |        | 2||          | 2|         | 2|     |        | 2||    | 2|          | 2| |        | 2|||
    /       2/1 \\ |     2/1 \     \        \x //          \x /         \x /     \        \x //    \x /          \x / \        \x //|
-24*|1 + tan |--||*|3*tan |--| + ----------------- + ---------- + ---------- + ------------------------ + --------------------------|
    |        | 2|| |      | 2|            4               4            2                   2                           4            |
    \        \x // \      \x /           x               x            x                   x                           x             /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                   5                                                                 
                                                                  x                                                                  

$$- \frac{24}{x^{5}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + \frac{9}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + \frac{9}{x^{2}} \tan^{3}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + \frac{2}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right)^{2} + \frac{14}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + \frac{4}{x^{4}} \tan^{4}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}\right)$$