Производная (tan(x))^(-1)

Вы ввели

  1   
------
tan(x)

$$\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

        2   
-1 - tan (x)
------------
     2      
  tan (x)   

$$\frac{- \tan^{2}{\left (x \right )} - 1}{\tan^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                /            2   \
  /       2   \ |     1 + tan (x)|
2*\1 + tan (x)/*|-1 + -----------|
                |          2     |
                \       tan (x)  /
----------------------------------
              tan(x)              

$$\frac{2}{\tan{\left (x \right )}} \left(\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

  /                                3                  2\
  |                   /       2   \      /       2   \ |
  |          2      3*\1 + tan (x)/    5*\1 + tan (x)/ |
2*|-2 - 2*tan (x) - ---------------- + ----------------|
  |                        4                  2        |
  \                     tan (x)            tan (x)     /

$$2 \left(- \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left (x \right )}} + \frac{5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - 2 \tan^{2}{\left (x \right )} - 2\right)$$

График