Производная tan(x^(1/3))

Вы ввели

   /3 ___\
tan\\/ x /

$$\tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \sqrt[3]{x}$.

   2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{x}$ получим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \cos^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \cos^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \cos^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$

Первая производная

       2/3 ___\
1 + tan \\/ x /
---------------
        2/3    
     3*x       

$$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

  /       2/3 ___\\ /    1        /3 ___\\
2*\1 + tan \\/ x //*|- ----- + tan\\/ x /|
                    |  3 ___             |
                    \  \/ x              /
------------------------------------------
                     4/3                  
                  9*x                     

$$\frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} \left(\tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) \left(\tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                    /              2/3 ___\        /3 ___\        2/3 ___\\
  /       2/3 ___\\ | 5     1 + tan \\/ x /   6*tan\\/ x /   2*tan \\/ x /|
2*\1 + tan \\/ x //*|---- + --------------- - ------------ + -------------|
                    | 8/3           2              7/3              2     |
                    \x             x              x                x      /
---------------------------------------------------------------------------
                                     27                                    

$$\frac{2}{27} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) \left(\frac{1}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) + \frac{2}{x^{2}} \tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} - \frac{6}{x^{\frac{7}{3}}} \tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + \frac{5}{x^{\frac{8}{3}}}\right)$$