Производная (tan(x))^(1/3)

Вы ввели

3 ________
\/ tan(x) 

$$\sqrt[3]{\tan{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3 \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}}$

Первая производная

       2   
1   tan (x)
- + -------
3      3   
-----------
    2/3    
 tan   (x) 

$$\frac{\frac{1}{3} \tan^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{3}}{\tan^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                /                      2   \
  /       2   \ |  3 ________   1 + tan (x)|
2*\1 + tan (x)/*|3*\/ tan(x)  - -----------|
                |                   5/3    |
                \                tan   (x) /
--------------------------------------------
                     9                      

$$\frac{2}{9} \left(- \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan^{\frac{5}{3}}{\left (x \right )}} + 3 \sqrt[3]{\tan{\left (x \right )}}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                /                                                2\
                |                 /       2   \     /       2   \ |
  /       2   \ |      4/3      9*\1 + tan (x)/   5*\1 + tan (x)/ |
2*\1 + tan (x)/*|18*tan   (x) - --------------- + ----------------|
                |                     2/3               8/3       |
                \                  tan   (x)         tan   (x)    /
-------------------------------------------------------------------
                                 27                                

$$\frac{2}{27} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{\frac{8}{3}}{\left (x \right )}} - \frac{9 \tan^{2}{\left (x \right )} + 9}{\tan^{\frac{2}{3}}{\left (x \right )}} + 18 \tan^{\frac{4}{3}}{\left (x \right )}\right)$$