Производная ((tan(x))^7)

Вы ввели

   7   
tan (x)

$$\tan^{7}{\left(x \right)}$$

d /   7   \
--\tan (x)/
dx         

$$\frac{d}{d x} \tan^{7}{\left(x \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

2. В силу правила, применим: $u^{7}$ получим $7 u^{6}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{7 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{7 \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{7 \tan^{6}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

   6    /         2   \
tan (x)*\7 + 7*tan (x)/

$$\left(7 \tan^{2}{\left(x \right)} + 7\right) \tan^{6}{\left(x \right)}$$

Вторая производная

      5    /       2   \ /         2   \
14*tan (x)*\1 + tan (x)/*\3 + 4*tan (x)/

$$14 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(4 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan^{5}{\left(x \right)}$$

Третья производная

                         /                            2                           \
      4    /       2   \ |     4         /       2   \          2    /       2   \|
14*tan (x)*\1 + tan (x)/*\2*tan (x) + 15*\1 + tan (x)/  + 19*tan (x)*\1 + tan (x)//

$$14 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(15 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 19 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan^{4}{\left(x \right)}\right) \tan^{4}{\left(x \right)}$$

График