Производная 3/tan(x)^(25)

Вы ввели

   3    
--------
   25   
tan  (x)

$$\frac{3}{\tan^{25}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \tan^{25}{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan^{25}{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{25}$ получим $25 u^{24}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{25 \tan^{24}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{25 \sin^{2}{\left (x \right )} + 25 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{26}{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{75 \sin^{2}{\left (x \right )} + 75 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{26}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{75 \cos^{24}{\left (x \right )}}{\sin^{26}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{75 \cos^{24}{\left (x \right )}}{\sin^{26}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   /           2   \
-3*\25 + 25*tan (x)/
--------------------
         26         
      tan  (x)      

$$- \frac{75 \tan^{2}{\left (x \right )} + 75}{\tan^{26}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                  /        /       2   \\
    /       2   \ |     13*\1 + tan (x)/|
150*\1 + tan (x)/*|-1 + ----------------|
                  |            2        |
                  \         tan (x)     /
-----------------------------------------
                    25                   
                 tan  (x)                

$$\frac{150}{\tan^{25}{\left (x \right )}} \left(\frac{13 \tan^{2}{\left (x \right )} + 13}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                  /                      2                   \
                  |         /       2   \       /       2   \|
    /       2   \ |     351*\1 + tan (x)/    77*\1 + tan (x)/|
150*\1 + tan (x)/*|-2 - ------------------ + ----------------|
                  |             4                   2        |
                  \          tan (x)             tan (x)     /
--------------------------------------------------------------
                              24                              
                           tan  (x)                           

$$\frac{150}{\tan^{24}{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{351 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{4}{\left (x \right )}} + \frac{77 \tan^{2}{\left (x \right )} + 77}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - 2\right)$$