Производная (3*sqrt(x))/(2*x+9)

Вы ввели

    ___
3*\/ x 
-------
2*x + 9

$$\frac{3 \sqrt{x}}{2 x + 9}$$

  /    ___\
d |3*\/ x |
--|-------|
dx\2*x + 9/

$$\frac{d}{d x} \frac{3 \sqrt{x}}{2 x + 9}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$ и $g{\left(x \right)} = 2 x + 9$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $2 x + 9$ почленно:

         1. Производная постоянной $9$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате: $2$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{- 2 \sqrt{x} + \frac{2 x + 9}{2 \sqrt{x}}}{\left(2 x + 9\right)^{2}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{3 \left(- 2 \sqrt{x} + \frac{2 x + 9}{2 \sqrt{x}}\right)}{\left(2 x + 9\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3 \cdot \left(9 - 2 x\right)}{2 \sqrt{x} \left(2 x + 9\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{3 \cdot \left(9 - 2 x\right)}{2 \sqrt{x} \left(2 x + 9\right)^{2}}$

Первая производная

       ___                      
   6*\/ x              3        
- ---------- + -----------------
           2       ___          
  (2*x + 9)    2*\/ x *(2*x + 9)

$$- \frac{6 \sqrt{x}}{\left(2 x + 9\right)^{2}} + \frac{3}{2 \sqrt{x} \left(2 x + 9\right)}$$

Вторая производная

  /                                  ___  \
  |    1             2           8*\/ x   |
3*|- ------ - --------------- + ----------|
  |     3/2     ___                      2|
  \  4*x      \/ x *(9 + 2*x)   (9 + 2*x) /
-------------------------------------------
                  9 + 2*x                  

$$\frac{3 \cdot \left(\frac{8 \sqrt{x}}{\left(2 x + 9\right)^{2}} - \frac{2}{\sqrt{x} \left(2 x + 9\right)} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right)}{2 x + 9}$$

Третья производная

  /                                  ___                    \
  |  1             1            16*\/ x            4        |
9*|------ + ---------------- - ---------- + ----------------|
  |   5/2      3/2                      3     ___          2|
  \8*x      2*x   *(9 + 2*x)   (9 + 2*x)    \/ x *(9 + 2*x) /
-------------------------------------------------------------
                           9 + 2*x                           

$$\frac{9 \left(- \frac{16 \sqrt{x}}{\left(2 x + 9\right)^{3}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(2 x + 9\right)^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \left(2 x + 9\right)} + \frac{1}{8 x^{\frac{5}{2}}}\right)}{2 x + 9}$$

График