Производная 3^(cot(x)/5)

Вы ввели

 cot(x)
 ------
   5   
3      

$$3^{\frac{1}{5} \cot{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{5} \cot{\left (x \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 3^{u} = 3^{u} \log{\left (3 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{5} \cot{\left (x \right )}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{5 \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3^{\frac{1}{5} \cot{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \log{\left (3 \right )}}{5 \cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{3^{\frac{1}{5 \tan{\left (x \right )}}} \log{\left (3 \right )}}{5 \sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{3^{\frac{1}{5 \tan{\left (x \right )}}} \log{\left (3 \right )}}{5 \sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

 cot(x)                       
 ------ /         2   \       
   5    |  1   cot (x)|       
3      *|- - - -------|*log(3)
        \  5      5   /       

$$3^{\frac{1}{5} \cot{\left (x \right )}} \left(- \frac{1}{5} \cot^{2}{\left (x \right )} - \frac{1}{5}\right) \log{\left (3 \right )}$$

Вторая производная

 cot(x)                                                        
 ------                                                        
   5    /       2   \ /            /       2   \       \       
3      *\1 + cot (x)/*\10*cot(x) + \1 + cot (x)/*log(3)/*log(3)
---------------------------------------------------------------
                               25                              

$$\frac{1}{25} 3^{\frac{1}{5} \cot{\left (x \right )}} \left(\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (3 \right )} + 10 \cot{\left (x \right )}\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (3 \right )}$$

Третья производная

  cot(x)                                                                                                   
  ------               /                                2                                         \        
    5    /       2   \ |            2      /       2   \     2         /       2   \              |        
-3      *\1 + cot (x)/*\50 + 150*cot (x) + \1 + cot (x)/ *log (3) + 30*\1 + cot (x)/*cot(x)*log(3)/*log(3) 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                    125                                                    

$$- \frac{1}{125} 3^{\frac{1}{5} \cot{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (3 \right )} + 30 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (3 \right )} \cot{\left (x \right )} + 150 \cot^{2}{\left (x \right )} + 50\right) \log{\left (3 \right )}$$