Производная 3^x/(x-1)

Вы ввели

   x 
  3  
-----
x - 1

$$\frac{3^{x}}{x - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 3^{x}$ и $g{\left (x \right )} = x - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left (3 \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(3^{x} \left(x - 1\right) \log{\left (3 \right )} - 3^{x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3^{x}}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(\left(x - 1\right) \log{\left (3 \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{3^{x}}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(\left(x - 1\right) \log{\left (3 \right )} - 1\right)$

Первая производная

      x       x       
     3       3 *log(3)
- -------- + ---------
         2     x - 1  
  (x - 1)             

$$\frac{3^{x} \log{\left (3 \right )}}{x - 1} - \frac{3^{x}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

 x /   2          2       2*log(3)\
3 *|log (3) + --------- - --------|
   |                  2    -1 + x |
   \          (-1 + x)            /
-----------------------------------
               -1 + x              

$$\frac{3^{x}}{x - 1} \left(\log^{2}{\left (3 \right )} - \frac{2 \log{\left (3 \right )}}{x - 1} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

   /                           2               \
 x |   3          6       3*log (3)    6*log(3)|
3 *|log (3) - --------- - --------- + ---------|
   |                  3     -1 + x            2|
   \          (-1 + x)                (-1 + x) /
------------------------------------------------
                     -1 + x                     

$$\frac{3^{x}}{x - 1} \left(\log^{3}{\left (3 \right )} - \frac{3 \log^{2}{\left (3 \right )}}{x - 1} + \frac{6 \log{\left (3 \right )}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{6}{\left(x - 1\right)^{3}}\right)$$