Производная y/(y+1)

Вы ввели

  y  
-----
y + 1

$$\frac{y}{y + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d y}\left(\frac{f{\left (y \right )}}{g{\left (y \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (y \right )}} \left(- f{\left (y \right )} \frac{d}{d y} g{\left (y \right )} + g{\left (y \right )} \frac{d}{d y} f{\left (y \right )}\right)$

   $f{\left (y \right )} = y$ и $g{\left (y \right )} = y + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d y} f{\left (y \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $y$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d y} g{\left (y \right )}$:

   1. дифференцируем $y + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $y$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(y + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(y + 1\right)^{2}}$

Первая производная

  1        y    
----- - --------
y + 1          2
        (y + 1) 

$$- \frac{y}{\left(y + 1\right)^{2}} + \frac{1}{y + 1}$$

Вторая производная

  /       y  \
2*|-1 + -----|
  \     1 + y/
--------------
          2   
   (1 + y)    

$$\frac{\frac{2 y}{y + 1} - 2}{\left(y + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

  /      y  \
6*|1 - -----|
  \    1 + y/
-------------
          3  
   (1 + y)   

$$\frac{1}{\left(y + 1\right)^{3}} \left(- \frac{6 y}{y + 1} + 6\right)$$