Производная x/(a+b*x)

Вы ввели

   x   
-------
a + b*x

$$\frac{x}{a + b x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = a + b x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $a + b x$ почленно:

      1. Производная постоянной $a$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $b$

      В результате: $b$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{a}{\left(a + b x\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{a}{\left(a + b x\right)^{2}}$

Первая производная

   1         b*x    
------- - ----------
a + b*x            2
          (a + b*x) 

$$- \frac{b x}{\left(a + b x\right)^{2}} + \frac{1}{a + b x}$$

Вторая производная

    /       b*x  \
2*b*|-1 + -------|
    \     a + b*x/
------------------
             2    
    (a + b*x)     

$$\frac{2 b}{\left(a + b x\right)^{2}} \left(\frac{b x}{a + b x} - 1\right)$$

Третья производная

   2 /      b*x  \
6*b *|1 - -------|
     \    a + b*x/
------------------
             3    
    (a + b*x)     

$$\frac{6 b^{2}}{\left(a + b x\right)^{3}} \left(- \frac{b x}{a + b x} + 1\right)$$