Производная x/(4*x+1)

Вы ввели

   x   
-------
4*x + 1

$$\frac{x}{4 x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = 4 x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $4 x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $4$

      В результате: $4$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(4 x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(4 x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

   1         4*x    
------- - ----------
4*x + 1            2
          (4*x + 1) 

$$- \frac{4 x}{\left(4 x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{4 x + 1}$$

Вторая производная

  /       4*x  \
8*|-1 + -------|
  \     1 + 4*x/
----------------
            2   
   (1 + 4*x)    

$$\frac{\frac{32 x}{4 x + 1} - 8}{\left(4 x + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

   /      4*x  \
96*|1 - -------|
   \    1 + 4*x/
----------------
            3   
   (1 + 4*x)    

$$\frac{- \frac{384 x}{4 x + 1} + 96}{\left(4 x + 1\right)^{3}}$$