Производная x/(2-x^3)

Вы ввели

  x   
------
     3
2 - x 

$$\frac{x}{2 - x^{3}}$$

d /  x   \
--|------|
dx|     3|
  \2 - x /

$$\frac{d}{d x} \frac{x}{2 - x^{3}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = 2 - x^{3}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $2 - x^{3}$ почленно:

      1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

         Таким образом, в результате: $- 3 x^{2}$

      В результате: $- 3 x^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{2 x^{3} + 2}{\left(2 - x^{3}\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 \left(x^{3} + 1\right)}{\left(x^{3} - 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \left(x^{3} + 1\right)}{\left(x^{3} - 2\right)^{2}}$

Первая производная

               3  
  1         3*x   
------ + ---------
     3           2
2 - x    /     3\ 
         \2 - x / 

$$\frac{3 x^{3}}{\left(2 - x^{3}\right)^{2}} + \frac{1}{2 - x^{3}}$$

Вторая производная

     /         3 \
   2 |      3*x  |
6*x *|2 - -------|
     |          3|
     \    -2 + x /
------------------
             2    
    /      3\     
    \-2 + x /     

$$\frac{6 x^{2} \left(- \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 2} + 2\right)}{\left(x^{3} - 2\right)^{2}}$$

Третья производная

    /         3          6   \
    |     27*x       27*x    |
6*x*|4 - ------- + ----------|
    |          3            2|
    |    -2 + x    /      3\ |
    \              \-2 + x / /
------------------------------
                   2          
          /      3\           
          \-2 + x /           

$$\frac{6 x \left(\frac{27 x^{6}}{\left(x^{3} - 2\right)^{2}} - \frac{27 x^{3}}{x^{3} - 2} + 4\right)}{\left(x^{3} - 2\right)^{2}}$$

График