Производная x/e^(-x)

Вы ввели

 x 
---
 -x
E  

$$\frac{x}{e^{- x}}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = \frac{1}{e^{- x}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = e^{- x}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} e^{- x}$:

      1. Заменим $u = - x$.

      2. Производная $e^{u}$ само оно.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате последовательности правил:

         $- e^{- x}$

      В результате последовательности правил:

      $e^{x}$

   В результате: $x e^{x} + \frac{1}{e^{- x}}$

2. Теперь упростим:

   $\left(x + 1\right) e^{x}$

---

Ответ:

$\left(x + 1\right) e^{x}$

Первая производная

 1       x
--- + x*e 
 -x       
E         

$$x e^{x} + \frac{1}{e^{- x}}$$

Вторая производная

         x
(2 + x)*e 

$$\left(x + 2\right) e^{x}$$

Третья производная

         x
(3 + x)*e 

$$\left(x + 3\right) e^{x}$$