Производная x/cos(x)

Вы ввели

  x   
------
cos(x)

$$\frac{x}{\cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

  1      x*sin(x)
------ + --------
cos(x)      2    
         cos (x) 

$$\frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                      2   
    2*sin(x)   2*x*sin (x)
x + -------- + -----------
     cos(x)         2     
                 cos (x)  
--------------------------
          cos(x)          

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + x + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

         2                          3   
    6*sin (x)   5*x*sin(x)   6*x*sin (x)
3 + --------- + ---------- + -----------
        2         cos(x)          3     
     cos (x)                   cos (x)  
----------------------------------------
                 cos(x)                 

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{6 x \sin^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \frac{5 x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 3\right)$$