Производная x/cos(x)+sin(x)

Вы ввели

  x            
------ + sin(x)
cos(x)         

$$\frac{x}{\cos{\left (x \right )}} + \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\frac{x}{\cos{\left (x \right )}} + \sin{\left (x \right )}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) + \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$

Первая производная

  1      x*sin(x)         
------ + -------- + cos(x)
cos(x)      2             
         cos (x)          

$$\frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                                     2   
            x      2*sin(x)   2*x*sin (x)
-sin(x) + ------ + -------- + -----------
          cos(x)      2            3     
                   cos (x)      cos (x)  

$$\frac{2 x \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \frac{x}{\cos{\left (x \right )}} - \sin{\left (x \right )} + \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$$

Третья производная

                        2                          3   
            3      6*sin (x)   5*x*sin(x)   6*x*sin (x)
-cos(x) + ------ + --------- + ---------- + -----------
          cos(x)       3           2             4     
                    cos (x)     cos (x)       cos (x)  

$$\frac{6 x \sin^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{4}{\left (x \right )}} + \frac{5 x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} - \cos{\left (x \right )} + \frac{3}{\cos{\left (x \right )}}$$