Производная x/(cos(x)+sin(x))

Вы ввели

       x       
---------------
cos(x) + sin(x)

$$\frac{x}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(- x \left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) + \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\sqrt{2}}{\sin{\left (2 x \right )} + 1} \left(- x \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{\sin{\left (2 x \right )} + 1} \left(- x \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}\right)$

Первая производная

       1          x*(-cos(x) + sin(x))
--------------- + --------------------
cos(x) + sin(x)                     2 
                   (cos(x) + sin(x))  

$$\frac{x \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                                                 2
    2*(-cos(x) + sin(x))   2*x*(-cos(x) + sin(x)) 
x + -------------------- + -----------------------
      cos(x) + sin(x)                          2  
                              (cos(x) + sin(x))   
--------------------------------------------------
                 cos(x) + sin(x)                  

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + x + \frac{2 \sin{\left (x \right )} - 2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                        2                                                  3
    6*(-cos(x) + sin(x))    5*x*(-cos(x) + sin(x))   6*x*(-cos(x) + sin(x)) 
3 + --------------------- + ---------------------- + -----------------------
                       2       cos(x) + sin(x)                           3  
      (cos(x) + sin(x))                                 (cos(x) + sin(x))   
----------------------------------------------------------------------------
                              cos(x) + sin(x)                               

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} \left(\frac{6 x \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{3}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{3}} + \frac{5 x \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} + \frac{6 \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + 3\right)$$