Производная x/(cos(x))^2

Вы ввели

   x   
-------
   2   
cos (x)

$$\frac{x}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \cos^{2}{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cos^{4}{\left (x \right )}} \left(2 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos^{3}{\left (x \right )}} \left(2 x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos^{3}{\left (x \right )}} \left(2 x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

   1      2*x*sin(x)
------- + ----------
   2          3     
cos (x)    cos (x)  

$$\frac{2 x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /                      2   \
  |    2*sin(x)   3*x*sin (x)|
2*|x + -------- + -----------|
  |     cos(x)         2     |
  \                 cos (x)  /
------------------------------
              2               
           cos (x)            

$$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{6 x \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 2 x + \frac{4 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

  /         2                           3   \
  |    9*sin (x)   8*x*sin(x)   12*x*sin (x)|
2*|3 + --------- + ---------- + ------------|
  |        2         cos(x)          3      |
  \     cos (x)                   cos (x)   /
---------------------------------------------
                      2                      
                   cos (x)                   

$$\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{24 x \sin^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} + \frac{16 x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \frac{18 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 6\right)$$