Производная x/cot(x)

Вы ввели

  x   
------
cot(x)

$$\frac{x}{\cot{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\cot^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{x \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \cot{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

           /       2   \
  1      x*\1 + cot (x)/
------ + ---------------
cot(x)          2       
             cot (x)    

$$\frac{x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\cot^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\cot{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                /               /       2   \\
  /       2   \ |  1          x*\1 + cot (x)/|
2*\1 + cot (x)/*|------ - x + ---------------|
                |cot(x)              2       |
                \                 cot (x)    /
----------------------------------------------
                    cot(x)                    

$$\frac{2}{\cot{\left (x \right )}} \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\cot^{2}{\left (x \right )}} - x + \frac{1}{\cot{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                /                                                                        2\
                |                   /       2   \       /       2   \       /       2   \ |
  /       2   \ |    3            3*\1 + cot (x)/   5*x*\1 + cot (x)/   3*x*\1 + cot (x)/ |
2*\1 + cot (x)/*|- ------ + 2*x + --------------- - ----------------- + ------------------|
                |  cot(x)                3                  2                   4         |
                \                     cot (x)            cot (x)             cot (x)      /

$$2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{3 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\cot^{4}{\left (x \right )}} - \frac{5 x \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)}{\cot^{2}{\left (x \right )}} + 2 x + \frac{3 \cot^{2}{\left (x \right )} + 3}{\cot^{3}{\left (x \right )}} - \frac{3}{\cot{\left (x \right )}}\right)$$