Производная x/(1-cos(x))

Вы ввели

    x     
----------
1 - cos(x)

$$\frac{x}{- \cos{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = - \cos{\left (x \right )} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- \cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

      В результате: $\sin{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} + 1}{\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(- x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(- x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} + 1\right)$

Первая производная

    1           x*sin(x)  
---------- - -------------
1 - cos(x)               2
             (1 - cos(x)) 

$$- \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{- \cos{\left (x \right )} + 1}$$

Вторая производная

 /                             2   \ 
 |                      2*x*sin (x)| 
-|2*sin(x) + x*cos(x) + -----------| 
 \                      -1 + cos(x)/ 
-------------------------------------
                         2           
            (-1 + cos(x))            

$$- \frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} + \frac{2 x \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} + 2 \sin{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

                             2               3                         
                        6*sin (x)     6*x*sin (x)     6*x*cos(x)*sin(x)
-3*cos(x) + x*sin(x) - ----------- - -------------- - -----------------
                       -1 + cos(x)                2      -1 + cos(x)   
                                     (-1 + cos(x))                     
-----------------------------------------------------------------------
                                          2                            
                             (-1 + cos(x))                             

$$\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(x \sin{\left (x \right )} - \frac{6 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} - \frac{6 x \sin^{3}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} - 3 \cos{\left (x \right )} - \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1}\right)$$