Производная (x/(1-x))^3

Вы ввели

       3
/  x  \ 
|-----| 
\1 - x/ 

$$\left(\frac{x}{- x + 1}\right)^{3}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x}{- x + 1}$.

2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{- x + 1}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = - x + 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{\left(- x + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{3 x^{2}}{\left(- x + 1\right)^{4}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{3 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{4}}$

---

Ответ:

$\frac{3 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{4}}$

Первая производная

    3                              
   x             /  3       3*x   \
--------*(1 - x)*|----- + --------|
       3         |1 - x          2|
(1 - x)          \        (1 - x) /
-----------------------------------
                 x                 

$$\frac{x^{3}}{x} \frac{1}{\left(- x + 1\right)^{2}} \left(\frac{3 x}{\left(- x + 1\right)^{2}} + \frac{3}{- x + 1}\right)$$

Вторая производная

    /       x   \ /     4*x  \
3*x*|-1 + ------|*|2 - ------|
    \     -1 + x/ \    -1 + x/
------------------------------
                  3           
          (-1 + x)            

$$\frac{3 x}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(- \frac{4 x}{x - 1} + 2\right) \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right)$$

Третья производная

                /                             /       x   \\
                |                   2     3*x*|-1 + ------||
  /       x   \ |     13*x      17*x          \     -1 + x/|
3*|-1 + ------|*|2 - ------ + --------- + -----------------|
  \     -1 + x/ |    -1 + x           2         -1 + x     |
                \             (-1 + x)                     /
------------------------------------------------------------
                                 3                          
                         (-1 + x)                           

$$\frac{3}{\left(x - 1\right)^{3}} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) \left(\frac{17 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{3 x}{x - 1} \left(\frac{x}{x - 1} - 1\right) - \frac{13 x}{x - 1} + 2\right)$$