Производная x/(1-x^3)

Вы ввели

  x   
------
     3
1 - x 

$$\frac{x}{- x^{3} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = - x^{3} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x^{3} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

         Таким образом, в результате: $- 3 x^{2}$

      В результате: $- 3 x^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{2 x^{3} + 1}{\left(- x^{3} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x^{3} + 1}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x^{3} + 1}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

               3  
  1         3*x   
------ + ---------
     3           2
1 - x    /     3\ 
         \1 - x / 

$$\frac{3 x^{3}}{\left(- x^{3} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{- x^{3} + 1}$$

Вторая производная

     /         3 \
   2 |      3*x  |
6*x *|2 - -------|
     |          3|
     \    -1 + x /
------------------
             2    
    /      3\     
    \-1 + x /     

$$\frac{6 x^{2}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} \left(- \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 1} + 2\right)$$

Третья производная

    /         3          6   \
    |     27*x       27*x    |
6*x*|4 - ------- + ----------|
    |          3            2|
    |    -1 + x    /      3\ |
    \              \-1 + x / /
------------------------------
                   2          
          /      3\           
          \-1 + x /           

$$\frac{6 x}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} \left(\frac{27 x^{6}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{27 x^{3}}{x^{3} - 1} + 4\right)$$