Производная x/(1+2*x)

Вы ввели

   x   
-------
1 + 2*x

$$\frac{x}{2 x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = 2 x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $2 x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате: $2$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

   1         2*x    
------- - ----------
1 + 2*x            2
          (1 + 2*x) 

$$- \frac{2 x}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 x + 1}$$

Вторая производная

  /       2*x  \
4*|-1 + -------|
  \     1 + 2*x/
----------------
            2   
   (1 + 2*x)    

$$\frac{\frac{8 x}{2 x + 1} - 4}{\left(2 x + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

   /      2*x  \
24*|1 - -------|
   \    1 + 2*x/
----------------
            3   
   (1 + 2*x)    

$$\frac{- \frac{48 x}{2 x + 1} + 24}{\left(2 x + 1\right)^{3}}$$