Производная x/(1+x^2)

Вы ввели

  x   
------
     2
1 + x 

$$\frac{x}{x^{2} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x^{2} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- x^{2} + 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{- x^{2} + 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

               2  
  1         2*x   
------ - ---------
     2           2
1 + x    /     2\ 
         \1 + x / 

$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}$$

Вторая производная

    /         2 \
    |      4*x  |
2*x*|-3 + ------|
    |          2|
    \     1 + x /
-----------------
            2    
    /     2\     
    \1 + x /     

$$\frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 3\right)$$

Третья производная

  /           4         2 \
  |        8*x       8*x  |
6*|-1 - --------- + ------|
  |             2        2|
  |     /     2\    1 + x |
  \     \1 + x /          /
---------------------------
                 2         
         /     2\          
         \1 + x /          

$$\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(- \frac{48 x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{48 x^{2}}{x^{2} + 1} - 6\right)$$