Производная x/(5-x^2)

Вы ввели

  x   
------
     2
5 - x 

$$\frac{x}{5 - x^{2}}$$

d /  x   \
--|------|
dx|     2|
  \5 - x /

$$\frac{d}{d x} \frac{x}{5 - x^{2}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = 5 - x^{2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $5 - x^{2}$ почленно:

      1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $- 2 x$

      В результате: $- 2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{2} + 5}{\left(5 - x^{2}\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} + 5}{\left(x^{2} - 5\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} + 5}{\left(x^{2} - 5\right)^{2}}$

Первая производная

               2  
  1         2*x   
------ + ---------
     2           2
5 - x    /     2\ 
         \5 - x / 

$$\frac{2 x^{2}}{\left(5 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{5 - x^{2}}$$

Вторая производная

    /         2 \
    |      4*x  |
2*x*|3 - -------|
    |          2|
    \    -5 + x /
-----------------
             2   
    /      2\    
    \-5 + x /    

$$\frac{2 x \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 5} + 3\right)}{\left(x^{2} - 5\right)^{2}}$$

Третья производная

  /                   /          2 \\
  |                 2 |       2*x  ||
  |              4*x *|-1 + -------||
  |         2         |           2||
  |      4*x          \     -5 + x /|
6*|1 - ------- + -------------------|
  |          2               2      |
  \    -5 + x          -5 + x       /
-------------------------------------
                       2             
              /      2\              
              \-5 + x /              

$$\frac{6 \cdot \left(\frac{4 x^{2} \cdot \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 5} - 1\right)}{x^{2} - 5} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 5} + 1\right)}{\left(x^{2} - 5\right)^{2}}$$

График