Производная x/(6*x+6)

Вы ввели

   x   
-------
6*x + 6

$$\frac{x}{6 x + 6}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = 6 x + 6$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $6 x + 6$ почленно:

      1. Производная постоянной $6$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $6$

      В результате: $6$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{6}{\left(6 x + 6\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{6 \left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

   1         6*x    
------- - ----------
6*x + 6            2
          (6*x + 6) 

$$- \frac{6 x}{\left(6 x + 6\right)^{2}} + \frac{1}{6 x + 6}$$

Вторая производная

       x  
-1 + -----
     1 + x
----------
         2
3*(1 + x) 

$$\frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{3 \left(x + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

      x  
1 - -----
    1 + x
---------
        3
 (1 + x) 

$$\frac{- \frac{x}{x + 1} + 1}{\left(x + 1\right)^{3}}$$