Производная x/sin(2*x)

Вы ввели

   x    
--------
sin(2*x)

$$\frac{x}{\sin{\left (2 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (2 x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 2 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $2 \cos{\left (2 x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (2 x \right )}} \left(- 2 x \cos{\left (2 x \right )} + \sin{\left (2 x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin^{2}{\left (2 x \right )}} \left(- 2 x \cos{\left (2 x \right )} + \sin{\left (2 x \right )}\right)$

Первая производная

   1       2*x*cos(2*x)
-------- - ------------
sin(2*x)       2       
            sin (2*x)  

$$- \frac{2 x \cos{\left (2 x \right )}}{\sin^{2}{\left (2 x \right )}} + \frac{1}{\sin{\left (2 x \right )}}$$

Вторая производная

  /                      2     \
  |    cos(2*x)   2*x*cos (2*x)|
4*|x - -------- + -------------|
  |    sin(2*x)        2       |
  \                 sin (2*x)  /
--------------------------------
            sin(2*x)            

$$\frac{1}{\sin{\left (2 x \right )}} \left(4 x + \frac{8 x \cos^{2}{\left (2 x \right )}}{\sin^{2}{\left (2 x \right )}} - \frac{4 \cos{\left (2 x \right )}}{\sin{\left (2 x \right )}}\right)$$

Третья производная

  /         2                3                     \
  |    6*cos (2*x)   12*x*cos (2*x)   10*x*cos(2*x)|
4*|3 + ----------- - -------------- - -------------|
  |        2              3              sin(2*x)  |
  \     sin (2*x)      sin (2*x)                   /
----------------------------------------------------
                      sin(2*x)                      

$$\frac{1}{\sin{\left (2 x \right )}} \left(- \frac{40 x \cos{\left (2 x \right )}}{\sin{\left (2 x \right )}} - \frac{48 x \cos^{3}{\left (2 x \right )}}{\sin^{3}{\left (2 x \right )}} + 12 + \frac{24 \cos^{2}{\left (2 x \right )}}{\sin^{2}{\left (2 x \right )}}\right)$$