Производная x/sin(5*x)

Вы ввели

   x    
--------
sin(5*x)

$$\frac{x}{\sin{\left(5 x \right)}}$$

d /   x    \
--|--------|
dx\sin(5*x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{x}{\sin{\left(5 x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 5 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $5$

      В результате последовательности правил:

      $5 \cos{\left(5 x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- 5 x \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{- 5 x \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}$

Первая производная

   1       5*x*cos(5*x)
-------- - ------------
sin(5*x)       2       
            sin (5*x)  

$$- \frac{5 x \cos{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(5 x \right)}}$$

Вторая производная

  /                   /         2     \\
  |  2*cos(5*x)       |    2*cos (5*x)||
5*|- ---------- + 5*x*|1 + -----------||
  |   sin(5*x)        |        2      ||
  \                   \     sin (5*x) //
----------------------------------------
                sin(5*x)                

$$\frac{5 \cdot \left(5 x \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}\right) - \frac{2 \cos{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(5 x \right)}}\right)}{\sin{\left(5 x \right)}}$$

Третья производная

   /                      /         2     \         \
   |                      |    6*cos (5*x)|         |
   |                  5*x*|5 + -----------|*cos(5*x)|
   |         2            |        2      |         |
   |    6*cos (5*x)       \     sin (5*x) /         |
25*|3 + ----------- - ------------------------------|
   |        2                    sin(5*x)           |
   \     sin (5*x)                                  /
-----------------------------------------------------
                       sin(5*x)                      

$$\frac{25 \left(- \frac{5 x \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}\right) \cos{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(5 x \right)}} + 3 + \frac{6 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{\sin^{2}{\left(5 x \right)}}\right)}{\sin{\left(5 x \right)}}$$

График