Производная x/sin(3*x)

Вы ввели

   x    
--------
sin(3*x)

$$\frac{x}{\sin{\left (3 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 3 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $3$

      В результате последовательности правил:

      $3 \cos{\left (3 x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (3 x \right )}} \left(- 3 x \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin^{2}{\left (3 x \right )}} \left(- 3 x \cos{\left (3 x \right )} + \sin{\left (3 x \right )}\right)$

Первая производная

   1       3*x*cos(3*x)
-------- - ------------
sin(3*x)       2       
            sin (3*x)  

$$- \frac{3 x \cos{\left (3 x \right )}}{\sin^{2}{\left (3 x \right )}} + \frac{1}{\sin{\left (3 x \right )}}$$

Вторая производная

  /                          2     \
  |      2*cos(3*x)   6*x*cos (3*x)|
3*|3*x - ---------- + -------------|
  |       sin(3*x)         2       |
  \                     sin (3*x)  /
------------------------------------
              sin(3*x)              

$$\frac{1}{\sin{\left (3 x \right )}} \left(9 x + \frac{18 x \cos^{2}{\left (3 x \right )}}{\sin^{2}{\left (3 x \right )}} - \frac{6 \cos{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )}}\right)$$

Третья производная

   /         2               3                    \
   |    2*cos (3*x)   6*x*cos (3*x)   5*x*cos(3*x)|
27*|1 + ----------- - ------------- - ------------|
   |        2              3            sin(3*x)  |
   \     sin (3*x)      sin (3*x)                 /
---------------------------------------------------
                      sin(3*x)                     

$$\frac{1}{\sin{\left (3 x \right )}} \left(- \frac{135 x \cos{\left (3 x \right )}}{\sin{\left (3 x \right )}} - \frac{162 x \cos^{3}{\left (3 x \right )}}{\sin^{3}{\left (3 x \right )}} + 27 + \frac{54 \cos^{2}{\left (3 x \right )}}{\sin^{2}{\left (3 x \right )}}\right)$$