Производная x/(sin(x))

Вы ввели

  x   
------
sin(x)

$$\frac{x}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

  1      x*cos(x)
------ - --------
sin(x)      2    
         sin (x) 

$$- \frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                      2   
    2*cos(x)   2*x*cos (x)
x - -------- + -----------
     sin(x)         2     
                 sin (x)  
--------------------------
          sin(x)          

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(x + \frac{2 x \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

         2             3                
    6*cos (x)   6*x*cos (x)   5*x*cos(x)
3 + --------- - ----------- - ----------
        2            3          sin(x)  
     sin (x)      sin (x)               
----------------------------------------
                 sin(x)                 

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{5 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} - \frac{6 x \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + 3 + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$