Производная x/sin(x)-cot(x)

Вы ввели

  x            
------ - cot(x)
sin(x)         

$$\frac{x}{\sin{\left (x \right )}} - \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\frac{x}{\sin{\left (x \right )}} - \cot{\left (x \right )}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right)$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{x}{\tan{\left (x \right )}} + 1 + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{x}{\tan{\left (x \right )}} + 1 + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\right)$

Первая производная

       2        1      x*cos(x)
1 + cot (x) + ------ - --------
              sin(x)      2    
                       sin (x) 

$$- \frac{x \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \cot^{2}{\left (x \right )} + 1 + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                                                    2   
  x      2*cos(x)     /       2   \          2*x*cos (x)
------ - -------- - 2*\1 + cot (x)/*cot(x) + -----------
sin(x)      2                                     3     
         sin (x)                               sin (x)  

$$\frac{x}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 x \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} - 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Третья производная

               2                                           2             3                
  /       2   \      3           2    /       2   \   6*cos (x)   6*x*cos (x)   5*x*cos(x)
2*\1 + cot (x)/  + ------ + 4*cot (x)*\1 + cot (x)/ + --------- - ----------- - ----------
                   sin(x)                                 3            4            2     
                                                       sin (x)      sin (x)      sin (x)  

$$- \frac{5 x \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6 x \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} + 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + \frac{3}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$$